|
| |
  |
Теория строительства Книги и журналы может быть представлено в виде суммы частных результатов воздействий отдельных правильных гармоник. Поэтому изучение свойств ограждений при действии правильных периодических колебаний имеет прямое практическое приложение. Теплоустойчивость ограждений является фундаментальной проблемой строительной теплофизики, которая в настоящее время разработана достаточно полно. ® Поэтому здесь рассмотрено точное -аналитическое решение задачи о передаче температурных колебаний через многослойное ограждение. Решение приводится в форме [IV.3;IV.7; IV.8], которая в дальнейшем принята за основу при изложении инженерного метода расчета теплоустойчивости. Для упрощения вывода основных расчетных формул точного аналитического решения сначала рассмотрим задачу о затухании колебаний, когда средняя температура воз-  духа с наружной to и Рис. IV. 10. Затухание температурных колебаний в ограждении (к выводу аналитического решения) внутренней tg сторон ограждения одинакова и равна нулю (рис. IV.10) Общая физико-математическая постановка задачи следующая. Температура наружной среды изменяется, совершая правильные гармонические колебания с периодом Т и амплитудой около средней температуры t„o = 0 = const. Температура внутренней среды неизменна /в = О = const. Заданы коэффициенты теплообмена на поверхностях ав и ан, теплофизические характеристики К, ср и толщины S материальных слоев ограждения. Математическая запись задачи в общей постановке рассмотрена в § II.2. В пределах каждого материального слоя стены должно быть справедливо уравнение Фурье (11.12). На внутренней и внешней поверхностях ограждения задано условие теплообмена III рода (11.27). На стыке между материальными слоями в толще стены тепловые потоки и температуры равны (11.20, 11.21). Задача состоит в определении затухания колебаний температуры в толще и на поверхностях ограждения, т. е. в определении температуры /(х, 2) в любом сечении х в произвольный мо.мент времени z. Основоположниками теории теплоустойчивости О. Е. Власовым и С. И. Муромовым было показано [IV.3; IV.7], что из всего многообразия форм математической записи решения уравнения (11.12) для рассматриваемой задачи удобно принять решение с использованием комплексных и гиперболических функций. Дифференциальное уравнение теплопроводности решают методом разделения переменных. Искомую зависимость t{x, г) принимают в зиде произведения двух независимых функций, одна из которых зависит только от X, другая - только от z: t(x,z)=Cf,(x)Uiz), (IV.44) где С - произвольная постоянная.. Подстановка решения в виде (IV.44) в основное уравнение теплопроводности (П. 12) дает dz dx Дифференцируя и группируя по переменным, получим 1 dlf jz)] 1 d[Cfi jx)] 0/2(2) dz Cfiix) дх (IV. 46) Левая часть равенства зависит только от z, а правая - только от X. Они могут быть равны между собой, как этого требует уравнение (IV.46), только в том случае, если и правая, и левая части равенства будут равны одной и той же постоянной величине (не зависящей ни от X, ни от z). Примем за такую величину-г) и, приравнивая к ней правую и левую части уравнения (IV.46), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения: 1 Alf.U)l ,. 0/2 (г) dz -L j!Hi>)L = .. (IV.48) Chix) dx Решением дифференциального уравнения (IV.47) служит функция hiz) = e""\ (IV.49) Постоянную интегрирования в уравнении (IV.49) не пишем, а относим й С в (IV.44). Постоянная г) в данной задаче должна быть выбрана так, чтобы искомые зависимости были периодическими функциями времени. Экспонента (IV.49) может быть такой функцией, если будет мнимой величиной, равной г)2 = ш/а, (IV.50) где м -2л/Т - круговая частота. Запишем выражение (IV.49) в виде /.(г)=™ (IV.51) Функция Cfi(x) дифференциального уравнения (IV.48) должна иметь равную себе вторую производную. Такими функциями могут быть, в частности, гиперболические синус sh и косинус ch. Как показано в [И 1.6] для простейшего случая, когда /, зависит только от одной переменной х, общее решение (l\f.48) можно представить как сумму двух частных решений в виде C/i (х) = Ci ch г)х -Ь Q sh г)х. „ (IV.52) В уравнении (IV.52) Cj и Сг - постоянные интегрирования, которые должны быть найдены из граничных условий задачи. В общем решении (IV .44) первый множитель C/j(x) есть амплитуда колебания температуры (с учетом ее начальной фазы) в произвольном сечении ограждения х, а второй множитель fi(z) определяет величину доли от амплитуды, соответствующую температуре в данный момент времени г. В развернутом виде решение (IV.44) может быть записано так: t (х, г) = (Ci ch г)х + С, sh г)х) е"". (IV.53) Нетрудно убедиться, что формула (IV.53) и есть решение дифференциального уравнения (11.12). В результате двойного дифференцирования уравнения (IV.53) по х получим а = аг)« (С ch г)х + С, sh хгх) е". (IV.54) Дифференцирование уравнения (IV.53) по z дает .iibJL = (Cj ch г)х -Ь Сг sh фх) ау!"". (IV.55) Правые части уравнений (IV.54) и (IV.55) равны, поэтому равны и их левые части, и уравнение (11.12) удовлетворяется. Следовательно, уравнение (IV.53) есть решение уравнения (11.12). Тепловой поток q(x, z), изменяющийся во времени z и в пространстве X, можно получить дифференцированием t(x, z) по х: - <7 (х, Z) = А, = А,г) (CjSh г)х + С, ch г)х) е"" = = S КГ (Ci sh Tjjx + Сг ch г)х) е""". (IV.56) В уравнении (IV.56) принято: Яг, = I = = 5 FT. (IV.57) Величина S в выражении (IV.56) есть так называемый коэффициент теплоусвоения материала слоя, который зависит от теплофизических характеристик материала Я и ср и периода колебания Т. Значения коэффициентов и определяют по уравнениям (IV.53) и (IV.55) подстановкой в них условий на внутренней границе ограждения. Приняв начало координат х = О на внутренней поверхности, из уравнения (IV-53) получим 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [ 69 ] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 |